关于实数集完备性的基本定理 　　一区间套定理与柯西收敛准则 　　定义1区间套:设是一闭区间序列.若满足条件 　　ⅰ）对,有,即,亦即 　　后一个闭区间包含在前一个闭区间中; 　　ⅱ）.即当时区间长度趋于零. 　　则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套. 　　区间套还可表达为: 　　. 　　我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列和,其中递增,递减. 　　例如和都是区间套.但、 　　和都不是. 　　区间套定理 　　Th7.1(区间套定理)设是一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点,使对有.简言之,区间套必有唯一公共点. 　　二聚点定理与有限覆盖定理 　　定义设是无穷点集.若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点,则称点为的一个聚点. 　　数集=有唯一聚点,但; 　　开区间的全体聚点之集是闭区间; 　　设是中全体有理数所成之集,易见的聚点集是闭区间. 　　Th7.2(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列. 　　2.聚点原理:Weierstrass聚点原理. 　　Th6每一个有界无穷点集必有聚点. 　　三实数完备性基本订立的等价性 　　证明若干个命题等价的一般方法. 　　本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行: 　　Ⅰ:确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 　　确界原理; 　　Ⅱ:区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则; 　　Ⅲ:区间套定理Heine–Borel有限复盖定理区间套定理. 　　一.“Ⅰ”的证明:(“确界原理单调有界原理”已证明过). 　　用“确界原理”证明“单调有界原理”: 　　Th2单调有界数列必收敛. 　　2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 　　Th3设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有. 　　推论1若是区间套确定的公共点,则对, 　　当时,总有. 　　推论2若是区间套确定的公共点,则有 　　↗,↘,. 　　3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 　　Th4数列收敛是Cauchy列. 　　引理Cauchy列是有界列.(证) 　　Th4的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用三等分的方法证明,该证法比较直观. 　　用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”： 　　Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界. 　　证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集.当为有限集时,显然有上确界.下设为无限集,取不是的上界,为的上界.对分区间,取,使不是的上界,为的上界.依此得闭区间列.验证为Cauchy列,由Cauchy收敛准则,收敛;同理收敛.易见↘.设↘.有↗. 　　下证.用反证法验证的上界性和最小性. 　　“Ⅱ”的证明: 　　用“区间套定理”证明“致密性定理”: 　　Th5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列. 　　证（突出子列抽取技巧） 　　Th6每一个有界无穷点集必有聚点. 　　2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”： 　　Th4数列收敛是Cauchy列. 　　证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限. 　　“Ⅲ”的证明: 　　用“区间套定理”证明“Heine–Borel有限复盖定理”: 　　用“Heine–Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”: