二阶偏导数怎么求
更新时间：2024-03-18 01:18:42
二阶偏导数的求法：利用关于x的偏导数表达式，先求得函数的一阶导数；令等式中的一阶导数等于0，代入函数表达式求出函数的极值点x0；以等式中的一阶导数为自变量，用函数表达式传递一阶导数对x的导数，从而求得函数的二阶导数；将极值点x0代入求得的二阶导数的表达式，求出位于极值点的函数的二阶偏导数。
二阶偏导的四个公式
∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]
∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]
∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]
∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]
二阶偏导数性质
一、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f(x)0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
二、设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么：
1、若在（a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
2、若在（a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
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